Aさんに子や兄弟姉妹（その子も含めて）など相続人がいない場合、Aさんが遺言を書いていなければ、その財産は原則として、国のものとなります。遺言書があれば、指定された者（例えば、あなた）がその内容に応じて、Aさんの財産を取得することができます。
もちろん、遺言書を書くかどうか（どのような内容の遺言書を書くかどうか）は、あなたではなく、Aさんが決めることです。

相続財産をもらえる場合

あなたが、Aさんと生計を同じくしていたり、Aさんの療養看護に努めていたり、その他「特別の縁故」のあった場合は、特別縁故者として、相続財産の全部または一部をもらうことができます（民法958条の３）。
客観的なAさんとのあなたの関わり、Aさんの生前の意思（感謝の気持ちのメモ、手紙、日記など）、ないし、財産形成への関与などを勘案して、家庭裁判所が判断することになります。

手続きは相続財産管理人の選任申立から

Aさんの住んでいた住所を管轄する家庭裁判所に、特別縁故者に対する財産分与の申立をすることが必要ですが、それに先立って、同じ裁判所でAさんの相続財産を管理する相続財産管理人を選任してもらうことが必要となります。
相続財産管理人の調査の結果、誰も相続人がいないことが正式に判明した後の申立となります。
詳しくは法律相談を受けることをお勧めします。